این نوشتار نیازمند آن است که از واژگان بیگانه (انگلیسی، عربی و ...) پیراسته شود. خواشمندیم واژگان رایج در فارسی را جایگزین کنید.

در آمار و اقتصادسنجی و به ویژه در آنالیز سری‌های زمانی، یک میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه(ARIMA) یک مدل گسترده‌تر از میانگین متحرک خودهمبسته(ARMA) است. این مدل‌ها در سریهای زمانی برای فهم بهتر مدل یا پیش‌بینی آینده به کار می‌روند. این مدل‌ها در جایی که داده‌ها غیر ایستا (non-stationary) باشند به کار می‌روند. در این حالت با یک بار دیفرانسیل‌گیری (متناظر با جز "یکپارچه"(integrated non-stationary بودن داده‌ها از بین می‌رود و امکان برآورد یک ARMA در داده‌های جدید به وجود می‌آید.

این مدل در اکثر موارد به صورت (ARIMA(p،d،q نشان داده می‌شود که در آن p و d و q اعداد حقیقی غیرمنفی هستند که درجه خودهمبستگی، یکپارچگی و میانگین متحرک را معلوم می‌کنند. مدل‌های ARIMA بخش مهمی از رویکرد باکس-جنکینز به مدل‌های سری زمانی را می‌سازند. در صورتی که یکی از جزءها برابر با صفر باشند معمولاً به صورت AR، I یا MA نوشته می‌شود. برای مثال یک (I(۱ همان مدل (ARIMA(۰٬۱٬۰ است یا (۱)MA همان (ARIMA(۰٬۰٬۱ است.

تعریف[ویرایش]

به ازای یک سری زمانی Xtdisplaystyle X_tداده شده که در آن tdisplaystyle tیک عدد صحیح شاخص و Xtdisplaystyle X_tاعداد حقیقی هستند، در اینصورت ARMA(p، q) به صورت زیر است:

(1−∑i=1pαiLi)Xt=(1+∑i=1qθiLi)εtdisplaystyle left(1-sum _i=1^palpha _iL^iright)X_t=left(1+sum _i=1^qtheta _iL^iright)varepsilon _t,
که در آن Ldisplaystyle Lاپراتور تاخیر و αidisplaystyle alpha _iپارامترهای بخش خودگردان مدل هستند وθidisplaystyle theta _i پارامترهای بخش میانگین متحرک هستند و εtdisplaystyle varepsilon _tبخش خطای مدل. ترم‌های خطا εtdisplaystyle varepsilon _t به‌طور کلی فرض می‌شوند متغیرهای تصادفی با توزیع مستقل و یکسان هستند. متغیرهای تصادفی از توزیع‌های نرمال با میانگین صفر برداشته می‌شوند.
فرض کنید که چندجمله‌ای (1−∑i=1pαiLi)displaystyle left(1-sum _i=1^palpha _iL^iright) یک ریشه واحد از درجه "d" دارد. در اینصورت می‌توان نوشت:

(1−∑i=1pαiLi)=(1+∑i=1p−dϕiLi)(1−L)d.displaystyle left(1-sum _i=1^palpha _iL^iright)=left(1+sum _i=1^p-dphi _iL^iright)left(1-Lright)^d.

یک مدل ARIMA(p،d،q) فاکتورهای این چندجمله‌ای را به صورت زیر بیان می‌کنند:

(1−∑i=1pϕiLi)(1−L)dXt=(1+∑i=1qθiLi)εtdisplaystyle left(1-sum _i=1^pphi _iL^iright)left(1-Lright)^dX_t=left(1+sum _i=1^qtheta _iL^iright)varepsilon _t,

و بنابراین می‌تواند به صورت یک نمونه خاص ARMA("p+d"،"q") که دارای بخش خودگردانی با ریشه‌های واحد است دیده شود.به همین دلیل هر ARIMA با "d" >۰ به‌طور کلی stationary نیست.

دیگر مدل‌های خاص[ویرایش]

مشخصه فاکتورگیری بخش چندجمله‌ای خودگردان به صورت بالا، می‌تواند به موارد دیگر نیز تعمیم داده شود. اولاً وجود چندجمله‌ای برای بخش میانگسن متحرک و ثانیاً برای شمول دیگر فرم‌های مدل.برای مثال، داشتن فاکتور(1−Ls)displaystyle left(1-L^sright) در مدل یک روش برای ایجاد non-stationarity فصلی دوره "s" در مدل است.مثال بعدی فاکتور
(1−3L+L2)displaystyle left(1-sqrt 3L+L^2right) است که شامل یک non-stationary فصلی دوره ۱۲ است.اثر فاکتور نوع اول این است که احازه می‌دهد تا مقدار عرض از مبدأ هر فصل به‌طور مجزا تغییر کند درصورتی‌که در نوع دوم این مقدار برای همه فصل‌ها با هم تغییر می‌کند.
شناسایی و تعیین درجه هربخش ARIMA مرحله مهمی در مدلسازی است زیرا می‌تواند سبب کاهش تعداد متغیرهای مورد برآورد در مدل شود.

پیش‌بینی با مدل‌های ARIMA[ویرایش]

مدل هایARIMA برای داده‌های با فرایندهایnon-stationary که روندهایی کاملاً قابل تشخیص دارند به کار می‌روند:

• یک روند ثابت (با میانگین صفر) مدل شده به صورت d=0displaystyle d=0
  


• یک روند خطی (برای مثال رفتار رشد خطی) مدل شده به صورتd=1displaystyle d=1
  


• یک روند مربعی (برای مثال رفتار رشد مرتبه دوم) مدل شده به صورت d=2displaystyle d=2
  

در این موارد مدل ARIMA را می‌توان به صورت ترکیبی از دو مدل دید. اولیnon-stationary است:

Yt=(1−L)dXtdisplaystyle Y_t=left(1-Lright)^dX_t

در حالیکه دومی wide-stationary است:

(1−∑i=1pϕiLi)Yt=(1+∑i=1qθiLi)εt.displaystyle left(1-sum _i=1^pphi _iL^iright)Y_t=left(1+sum _i=1^qtheta _iL^iright)varepsilon _t,.

در این حالت تکنیک‌های استاندارد پیش‌بینی می‌تواند برای فرموله کردن فرایند Ytdisplaystyle Y_t به کار رود و سپس با داشتن تعداد کافی مشاهدات اولیه به پیش‌بینی Xtdisplaystyle X_t پرداخت.

مثال‌ها[ویرایش]

بعضی از مثال‌های معروف به سادگی به دست می‌آیند.برای مثال ARIMA(۰،۱،۰) به صورت زیر نشان داده می‌شود که یک قدم تصادفی است:
Xt=Xt−1+εtdisplaystyle X_t=X_t-1+varepsilon _t
تعدادی از نمونه‌های ARIMA به گستردگی به کار می‌روند.برای مثال اگر سری زمانی‌های چندتایی به کار روند Xtdisplaystyle X_t را می‌توان به صورت برداری دید و استفاده از یک VARIMA مناسب به نظر می‌رسد. گاهی موارد به وجود یک اثر فصلی در مدل ظنین می‌شویم. برای مثال مدل حجم ترافیک روزانه راه‌ها را در نظر بگیرید.به سادگی مشاهده می‌شود که تعطیلات آخر هفته داده‌های متفاوتی از دیگر ایام هفته نشان می‌دهد.در این موارد به نظر درست تر می‌آید که به جای استفاده از مدلARIMA با درجه AR یا MA بزرگتر از مدل SARIMA (ARIMA فصلی) استفاده شود.اگر فکر می‌کنیم سری زمانی ممکن است وابستگی بلند مدت از خود نشان دهد در اینصورت پارامترddisplaystyle d می‌تواند با مقادیر غیر صحیح جایگزین شود که در اینصورت به مدل ARIMA نسبی(FARIMA یا ARFIMA) گفته می‌شود.

جستارهای وابسته[ویرایش]

• خودهمبستگی


• ARMA


• خودهمبستگی جزئی

منابع[ویرایش]

• Mills، Terence C. (۱۹۹۰) Time Series Techniques for Economists.
  

Cambridge University Press

• Percival، Donald B. and Andrew T. Walden. (۱۹۹۳) Spectral Analysis
  

for Physical Applications. Cambridge University Press.

لینک‌های دیگر[ویرایش]

• The US Census Bureau uses ARIMA for "seasonally adjusted" data (programs، docs، and papers here)