آهنگ شکست یا آهنگ خرابی (به انگلیسی: Failure rate) میزانی برای سنجیدن شکست یک سیستم یا مؤلفهٔ مهندسی است،که اغلب بوسیلهٔ حرف یونانی λ (لاندا) نشان داده می‌شود.

آهنگ شکست یک سیستم معمولاً به زمان چرخه حیات آن سیستم بستگی دارد. به عنوان مثال آهنگ شکست یک اتومبیل در پنجمین سال کارکرد آن ممکن است بسیار بیشتر از آهنگ شکست آن در سال اول کارکرد آن باشد.

درعمل میانگین زمان بین شکست اغلب به جای آهنگ شکست به کار می‌رود. این عمل در صورتی صحیح و قابل استفاده است که آهنگ شکست ثابت باشد.

تابع آهنگ شکست[ویرایش]

تابع آهنگ شکست برای توزیع نمایی

تعداد کل شکست‌ها (خرابی ها) برای یک جمعیت، تقسیم بر مجموع مدت زمان صرف شده توسط این جمعیت، در طول یک بازه اندازه‌گیری خاص تحت شرایط معین.

همچنین آهنگ شکست λ(t)displaystyle lambda (t) را می‌توان احتمال رخ دادن خرابی در یک بازهٔ زمانی مشخص، که قبل از زمان tdisplaystyle t بدون خرابی بوده‌است، دانست.

آهنگ شکست در اصل یک احتمال نیست، زیرا مقدار آن می‌تواند از یک فراتر رود، پس بیان کردن آن به درصد اشتباه خواهد بود، بخصوص اگر آهنگ شکست ما متغیر باشد.

به همین دلیل تابع آهنگ شکست به صورت زیر تعریف می‌شود

فرض می کنیم متغیر تصادفی Xdisplaystyle X غیر منفی است که طول عمر قطعه ( یا سیستم ) را با تابع چگالی fX(t)displaystyle f_X(t) و تابع توزیع تجمعی FX(t)displaystyle F_X(t) نشان می‌دهد. آنگاه تابع آهنگ شکست λX(t)displaystyle lambda _X(t) ، احتمال پیشامد آن که قطعه یا سیستم تا زمان tdisplaystyle t خراب نشده باشد و در بازهٔ زمانی (t,t+dt)displaystyle (t,t+dt) خراب شود را نشان می‌دهد

λX(t)dt=PX>t=PX∈(t,t+dt)∩X>tPX>t=PX∈(t,t+dt)PX>t=fX(t)dt1−FX(t)displaystyle lambda _X(t),dt=textPleftXin (t,t+dt)=frac textPXin (t,t+dt)cap X>ttextPX>t=frac textPXin (t,t+dt)textPX>t=frac f_X(t)dt1-F_X(t)

در نتیجه تابع آهنگ شکست تعریف می‌شود

λX(t)≜fX(t)1−FX(t)displaystyle lambda _X(t)triangleq frac f_X(t)1-F_X(t)

بسیاری از توابع احتمال را می‌توان برای مدل کردن آهنگ شکست به کار برد. رایج‌ترین این توابع، تابع توزیع نمایی است :

λX(t)=fX(t)1−FX(t)=λe−λte−λt=λdisplaystyle lambda _X(t)=frac f_X(t)1-F_X(t)=frac lambda e^-lambda te^-lambda t=lambda

باید توجه داشت که با در اختیار داشتن تابع آهنگ شکست می‌توان تابع چگالی احتمال و توزیع تجمعی را محاسبه کرد

FX(x)=1−e−∫0xλX(t)dtdisplaystyle F_X(x)=1-e^-int _0^xlambda _X(t),dt

fX(x)=dFX(x)dxdisplaystyle f_X(x)=frac dF_X(x)dx

مثال[ویرایش]

فرض کنیم آهنگ مرگ و میر افراد سیگاری در هر زمان دو برابر آهنگ مرگ و میر افراد غیر سیگاری است. اگر یک شخص سیگاری و یک شخص غیر سیگاری a سال عمر کرده باشند، احتمال اینکه فرد غیر سیگاری b سال عمر کنند چند برابر آن است که فرد سیگاری b سال عمر کنند ؟

فرض کنیم Lksdisplaystyle L_k^s پیشامد آن باشد که فرد سیگاری kdisplaystyle k سال عمر کند و Lknsdisplaystyle L_k^ns پیشامد آن باشد که فرد غیر سیگاری kdisplaystyle k سال عمر کند

P(Lbs|Las)=P(Lbs∩Las)P(Las)=P(Lbs)P(Las)=1−FX,s(b)1−FX,s(a)=e−∫abλX,s(t)dtL_a^s)=frac textP(L_b^scap L_a^s)textP(L_a^s)=frac textP(L_b^s)textP(L_a^s)=frac 1-F_X,s(b)1-F_X,s(a)=e^-int _a^blambda _X,s(t),dt

که FX,s(x)displaystyle F_X,s(x) تابع چگالی توزیع جمعی طول عمر فرد سیگار و λX,s(t)displaystyle lambda _X,s(t) تابع آهنگ مرگ و میر فرد سیگاری است. بطور مشابه

P(Lbns|Lans)=e−∫abλX,ns(t)dtdisplaystyle textP(L_b^ns

که λX,ns(t)displaystyle lambda _X,ns(t) تابع آهنگ مرگ و میر فرد غیر سیگاری است. می دانیم که

λX,s(t)=2λX,ns(t)displaystyle lambda _X,s(t)=2lambda _X,ns(t)

در نتیجه

P(Lbns|Lans)=e−∫abλX,ns(t)dt=e−∫ab12λX,s(t)dt=(e−∫abλX,s(t)dt)12=(P(Lbs|Las))12L_a^s)right)^frac 12

پس می‌توان نتیجه گرفت احتمال مردن برای فرد سیگاری توان دوم احتمال مردن برای فرد غیر سیگاری است ^[۱].

منابع[ویرایش]

• http://en.wikipedia.org/wiki/Failure_rate


• A. Papulis, Probability and Statistics, Prentice Hall, 1990